wiro sableng[riyadu.blogspot.com]
Minggu, 31 Maret 2013
Minggu, 24 Maret 2013
analisis real2
Analisis Real 23
Barisan Bilangan Real
Di sekolah menengah barisan
diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut ”pola” tertentu,
misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan deret
merupakan satu kesatuan pokok bahasan. Sekarang barisan dipahami dari sudut
pandang analisis dan ia merupakan bentuk khusus dari fungsi. Pada bab ini
dibahas mengenai pengertian barisan dan deret. Selanjutnya, dibahas tentang
limit dan konvergensi dari suatu barisan. Di antaranya adalah Teorema Konvergen
Monoton, Teorema Bolzano-Weierstrass, dan Kriteria Cauchy untuk barisan yang
konvergen.
3.1. Konvergensi Barisan
Barisan (sequence) pada
himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ
dan mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai
barisan di ℝ dan konvergensi dari
suatu barisan.
Definisi 3.1.1. Barisan Bilangan Real adalah suatu fungsi
dengan domain himpunan bilangan asli ℕ dengan range termuat
didalam ℝ.
Jadi barisan adalah
fungsi X : ℕ ® ℝ,
dimana setiap n Î ℕ nilai fungsi X(n)
biasa ditulis sebagai
X(n) ≔ xn
dan disebut suku ke-n
barisan X. Notasi barisan yang sering digunakan adalah
X atau (xn)
atau (xn : n Î ℕ) atau áxnñ atau
.
Pada buku ini akan
menggunakan (xn) untuk notasi barisan.
Contoh 3.1. Beberapa barisan dan cara penulisannya.
(i).
Barisan (xn) dengan xn = n(-1)n
adalah barisan X=(–1,2, –3,4, –5,6,...).
Dapat juga ditulis sebagai X = (n(–1)n : n Î ℕ)
(ii).
Barisan (yn) dengan yn = 2n – 1 adalah barisan Y =
(1,3,5,7, ....). Dapat juga ditulis sebagai Y
= (2n – 1 : n Î ℕ)
(iii).
Barisan (zn) dengan zn =
adalah barisan Z =
. Dapat juga ditulis sebagai Z = (
: n Î ℕ)
Penulisan barisan menggunakan
kurung biasa ”( )” dimaksudkan untuk membedakannya dengan himpunan yang biasa
ditulis menggunakan kurung kurawal ”{ }”. Pada himpunan, anggota yang sama cukup ditulis satu kali.
Sedangkan pada barisan, suku-suku yang berbeda memungkinkan mempunyai nilai
yang sama. Sebagai contoh ambil barisan (xn) yang
didefinisikan xn = (–1)n.
Jadi barisannya adalah X = (–1, 1, –1, 1, ... ). Tetapi bila dipandang sebagai himpunan maka diperoleh himpunan
X = {–1, 1}.
Selanjutnya, perhatikan kembali barisan bilangan real Y = (2n –
1 : n Î ℕ). Jika
semakin besar
maka
semakin besar,
tanpa batas. Tetapi, kalau
kita perhatikan barisan Z = (
: n Î ℕ), maka jika
semakin besar maka zn semakin kecil, menuju angka nol. Barisan bilangan real Z ini dikatakan sebagai barisan yang konvergen
atau mempunyai limit. Sedangkan barisan bilangan real
dikatakan barisan
yang tidak konvergen atau divergen.
Definisi 3.1.2. (Konvergensi Barisan). Barisan bilangan
real (xn)
dikatakan konvergen ke x Î ℝ, jika untuk setiap
terdapat Ne Î ℕ sedemikian sehingga
untuk setiap n ≥ Ne.
Bilangan x
dalam hal ini disebut sebagai limit barisan (xn),
dan barisan bilangan real (xn) konvergen atau menuju ke
dapat
dinyatakan sebagai
atau
atau
atau
.
Secara
informal, kita dapat mengatakan bahwa xn ‘menuju x’
bila n ‘menuju tak terhingga’. Untuk setiap n Î ℕ, bilangan xn dapat dianggap sebagai hampiran untuk x
(dan sebaliknya, x merupakan hampiran untuk xn). Jarak
(yaitu |xn − x|) antara xn dan x
menyatakan kesalahan pada penghampiran tersebut (dengan e sebagai taksiran kesalahan maksimum-nya). Definisi di atas menyatakan
bahwa kesalahan tersebut dapat dibuat sekecil-kecilnya dengan memilih n
cukup besar.
Jika suatu barisan (xn)
tidak konvergen
maka barisan (xn) dikatakan barisan divergen.
Contoh 3.2. Tunjukkan bahwa barisan (
: n Î ℕ)
konvergen ke 0.
Penyelesian. Disini kita ketahui bahwa xn =
dan x = 0.
Untuk sebarang
harus kita tunjukkan terdapat Ne Î ℕ sedemikian sehingga
untuk setiap n ≥ Ne.
Selanjutnya,
lihat bahwa
. Bentuk ketidaksamaan
diselesaikan diperoleh
. Sehingga cukup
diambil bilangan asli
. Akibatnya,
untuk setiap n ≥ Ne. Yang demikian berlaku untuk setiap
. Ini artinya bahwa barisan (
: n Î ℕ)
konvergen ke 0 atau
.
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan e = 0,12 maka
= 8,33.
Jadi cukup diambil Ne = 9. Untuk meyakinkan dapat diperiksa untuk n
≥ Ne = 9
yang kesemuanya kurang dari e ≔ 0,12.
Contoh 3.3. Buktikan
.
Penyelesian. Disini kita mempunyai xn =
dan x =
.
Untuk sebarang
harus kita temukan Ne Î ℕ sedemikian sehingga
untuk setiap n ≥
Ne.
Karena
,
diberikan
, pilih Ne Î ℕ sedemikian
sehingga Ne >
. Maka untuk setiap n ≥ Ne berlaku
. Ini artinya bahwa
.
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan e = 0,012 maka
= 9,25925. Jadi diambil Ne = 10. Agar lebih meyakinkan dapat diambil beberapa nilai
untuk n
≥ Ne = 10
yang kesemuanya kurang dari e = 0,012.
Contoh 3.4. Buktikan
Penyelesian. Disini kita mempunyai xn =(
dan x = 0
Untuk sebarang
harus kita temukan Ne Î ℕ sedemikian sehingga
untuk setiap n ≥ Ne.
Selanjutnya
Diberikan
sembarang, pilih Ne Î ℕ sehingga
untuk setiap n ≥ Ne. Jadi dapat kita pilih bilangan asli
sehingga
untuk setiap n ≥ Ne.
Sebagai ilustrasi, misalkan
diberikan e = 0,12 maka
= 17,36111. Jadi diambil Ne = 18. Agar lebih meyakinkan dapat diambil beberapa nilai
untuk n
≥ Ne = 18
yang kesemuanya kurang dari e = 0,12.
Contoh 3.5. Tunjukkan bahwa barisan (1 – (–1)n)
divergen.
Andaikan (1 – (–1)n) konvergen, maka terdapat x Î ℝ sehingga untuk setiap e > 0 terdapat Ne Î ℕ sedemikian sehingga |(1 – (–1)n)
– x | < e untuk setiap n ≥ Ne..
Ambil e =
>
0 maka berdasarkan Definisi 3.1.2, ada Ne Î ℕ sedemikian
sehingga |xn – x | <
untuk setiap n ≥ Ne.
Kita ketahui bahwa |xn – xn+1| = 2 untuk setiap n Î ℕ. (i)
Tetapi dilain pihak jika
n ≥ Ne, maka
|xn – xn+1 | =
|(xn – x) + (x – xn+1)|
≤ |xn – x | + |x
– xn+1|
<
e + e = 2 e = 2(
)
= 1 (ii)
Dari (i) dan (ii) kontradiksi,
sehingga pengandaian barisan konvergen adalah salah seharusnya barisan (1 – (–1)n)
adalah divergen.
Teorema 3.1.1. Limit dari suatu barisan bilangan real yang konvergen adalah tunggal.
Bukti
Andaikan barisan (xn)
mempunyai dua limit yang berbeda, katakan
dan
dengan
a ≠ b. Misalkan
.
Karena
maka terdapat Ne(a) sedemikian hingga
untuk setiap n ≥ Ne(a) , demikian juga karena
maka terdapat Ne(b) sedemikian hingga
untuk setiap n ≥ Ne(b).
Selanjutnya jika Ne ≥ maks{Ne(a), Ne(b)}. Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka berlaku
Akhirnya diperoleh
suatu pernyataan yang kontradiksi. Jadi pengandaian salah haruslah a = b,
yaitu limitnya tunggal. ■
Definisi 3.1.3. Barisan bilangan real (xn) dikatakan terbatas
jika terdapat bilangan real
sedemikan sehingga
untuk setiap n Î ℕ.
Dengan kata lain barisan áxnñ terbatas jika
dan hanya jika himpunan {xn : n Î ℕ}
terbatas pada ℝ.
Berkaitan dengan sifat keterbatasan barisan
bilangan real tersebut kita memiliki teorema berikut ini.
Teorema 3.1.2. Setiap Barisan
bilangan real yang konvergen adalah terbatas.
Bukti
Misalkan
barisan bilangan real áxnñ konvergen ke x Î ℝ. Ambil e = 1 maka ada Ne Î ℕ sehingga |xn – x | < 1 untuk setiap n ≥ Ne. Karena
maka berdasarkan sifat nilai mutlak
diperoleh
untuk setiap n ≥ Ne. Pilih
.
Maka berlaku
untuk setiap n ≥ Ne atau dengan kata lain barisan bilangan real áxnñ adalah barisan
yang terbatas.
■
Contoh 3.6.
(i). Kebalikan dari Teorema 3.1.2
salah/ tidak berlaku, tetapi barisan tidak terbatas pasti divergen. Sebagai
contoh, barisan (1–(-1)n) terbatas karena
untuk setiap n ≥ Ne tetapi tidak konvergen. Di sini keterbatasan
merupakan ‘syarat perlu’ tetapi bukan merupakan
‘syarat cukup’ untuk kekonvergenan.
(ii). Barisan (n(-1)n)
adalah tidak terbatas pada ℝ, dan juga tidak konvergen.
Latihan 3.1.
1.
Buktikan
dengan menggunakan definisi limit barisan
a. lim
b. lim
2.
Bultikan
bahwa lime
bila hanya bila lim
. Periksalah pernyataan ini untuk
.
3.
Tuliskan arti dari lim
. Tujukkan bahwa lim
untuk sembarang a Î ℝ.
4.
Jika
lim
dan
, tunjukan bahwa ada bilangan asli M sehingga
untuk setiap
5.
Buktikan
bahwa lim
6.
Buktikan
bahwa lime
3.2. Teorema Limit Barisan
Dalam contoh dan
soal-soal latihan pada subbab sebelumnya, ketika e > 0 diberikan, cukup mudah bagi kita untuk mencari bilangan asli ℕ yang memenuhi definisi barisan konvergen.
Namun secara umum tidaklah selalu demikian situasinya. Pembuktian limit barisan
melalui definisi akan menjadi lebih sulit bilamana bentuk barisan yang kita
hadapi cukup rumit. Dalam hal ini kita perlu mempunyai cara lain untuk
memeriksa kekonvergenan suatu barisan (dan menentukan limitnya) tanpa harus
menggunakan definisinya.
Teorema 3.2.1. Misalkan
(xn) dan (an)
adalah dua barisan
bilangan real dan lim (an)
= 0. Jika ada c > 0 dan m Î R sehingga berlaku
|xn – x
| ≤ c |an| untuk semua n ≥ m
maka
lim
(xn) = x.
Bukti.
Ambil e > 0, maka
. Karena lim (an)
= 0 maka terdapat Ne/c Î ℕ
sedemikian hingga untuk setiap n ≥ Ne/c berlaku |an – 0 | ≤
. Akibatnya untuk setiap n ≥ Ne/c berlaku |xn – x | ≤ c |an| ≤ c
= e atau |xn – x | ≤ e. Terbukti bahwa lim (xn) = x. ■
Teorema
ini biasa disebut dengan Teorema
Konvergen Terdominasi. Dalam penggunaan teorema ini harus dibangun barisan (an)
yang konvergen ke 0 dan ditentukan konstanta positif c.
Contoh 3.7. Bila a > 0, tunjukkan bahwa
.
Penyelesian. Karena a > 0 maka berlaku 0 < na < 1 + na, dan akibatnya
untuk setiap n Î N
Selanjutnya
untuk setiap n Î N
Dengan mengambil c =
> 0 dan an =
dan diketahui lim an = 0 maka menurut teorema
3.2.1 maka dapat disimpulkan
.
Contoh 3.8. Bila 0 < a < 1, tunjukkan
bahwa
Penyelesaian. Ambil
. Dapat ditulis
dan dengan ketidaksamaan Bernouli berlaku
dan diperoleh
Dengan mengambil c =
> 0 dan an =
dan diketahui lim an = 0 maka menurut teorema
3.2.1 maka dapat disimpulkan
.
Teorema 3.2.2. Jika
dan
, maka
(i).
(ii).
(iii).
(iv).
=
→
, (yn) ¹ 0, dan y
¹ 0
Bukti
(i).
Ambil
sebarang
. karena
maka terdapat
sedemikian hingga setiap
berlaku
. Karena
, maka
terdapat sedemikian hingga untuk setiap
berlaku
. pilih
, maka akibatnya untuk
berlaku
Karna berlaku untuk sembarang
maka
konvergen ke
.
Dengan cara yang sama diperoleh bahwa
konvergen
ke
. Jadi , terbukti bahwa
(ii).
Akan
dibuktikan untuk setiap
terdapat
sedemikian hingga untuk setiap
berlaku
diketahui
Karena
maka
terbatas, akibatnya terdapat
sedemikian hingga
untuk semua
. Namakan
Diambil sembarang
Karena
maka terdapat
sedemikian hingga untuk setiap
berlaku
Karena
maka terdapat
sedimikan hingga untuk setiap
berlaku
Namakan
maka untuk setiap
berlaku
Jadi, terbukti
bahwa untuk setiap
terdapat
sedemikian hingga untuk setiap
berlaku
Dengan kata lain, terbukti bahwa bahwa
(iii). Bagian ini
silahkan dibuktikan sendiri dengan cara membentuk
(iv). Diketahui
bahwan
Selanjutnya, kita perlu memberikan batas untuk
suku
. Karena
konvergen maka ada
sehingga
untuk setiap
. Karena
maka diberikan
ada
sehingga
untuk setiap
.
Karena
dan
maka
untuk setiap
.
Jadi berlaku
untuk setiap
.
Dengan demikian kita memiliki estimasi
.
(*)
Sekarang diberikan
sembarang. Karena lim
dan lim
maka ada
sehingga
untuk setiap
dan
untuk setiap
Dengan mengambil
maka berdasarkan (*)
diperoleh
untuk setiap
¾
Contoh 3.9. Tunjukkan bahwa
.
Penyelesaian. Pertama kita ubah dulu ke dalam bentuk barisan
konvergen, yaitu
Selanjutnya,
dengan mengunakan teorema
3.2.2 maka
.
Teorema 3.2.3 Jika
barisan
taknegatif, yaitu
untuk
setiap
maka
³ 0.
Bukti
Andaikan
. Ambil
, maka ada
sehingga
, untuk semua
.
Khususnya untuk
berlaku
. Hal ini kontradiksi dengan
hipotesis bahwa
untuk setiap
. ¾
Teorema 3.2.4. Jika
dan
barisan
konvergen dan
untuk setiap
maka
Bukti
Didefinisikan barisan
dengan
. Diperoleh
barisan taknegatif, dan selanjutnya digunakan
Teorema 3.2.3 (bukti
lengkapnya silahkan selesaiakan sendiri) ¾
Teorema 3.2.5.
Jika
barisan konvergen dan
untuk
setiap
maka
.
Bukti
Bandingkan
barisan
dengan barisan konstan
dan barisan
dengan barisan konstan
, kemudian gunakan teorema 3.2.4.(bukti lengkapnya silahkan selesaikan sendiri). ¾
Teorema berikut menjelaskan
kekonvergenan suatu barisan yang diapit oleh dua barisan yang konvergen ke
limit yang sama. Teorema ini sangat bermanfaat dalam membuktikan limit barisan.
Teorema 3.2.6. (Teorema Apit). Misalkan
dan
barisan
bilangan real dengan
jika
Bukti
Misalkan
. Diberikan
sembarang, maka terdapat bilangan asli
dan
sehingga
untuk setiap
dan
untuk setiap
Bila diambil
maka berlaku
dan
untuk setiap
.
Dari ini diperoleh
dan
untuk setiap
.
Diketahui
dengan menambahkan –w pada ketiga ruas diperoleh
untuk setiap
ℕ.
Dengan hasil sebelumnya, diperoleh
untuk setiap
.
Jadi terbukti
■
Contoh berikut ini memperlihatkan bagaimana Teorema Apit diaplikasikan
untuk menentukan limit suatu barisan.
Contoh 3.10. Tentukan limit dari barisan
.
Penyelesaian. Secara
langsung, mungkin kita agak susah untuk menentukan limitnya.
Perhatikan
bahwa -1 ≤ cos
n ≤ 1 untuk setiap n Î ℕ. Karenanya, kita bisa memperoleh
untuk setiap n Î ℕ.
Dengan mengambil xn =
, yn =
, dan zn =
, maka berdasarkan teorema 3.2.6. diperoleh
=
= 0.
Satu lagi alat cepat dan mudah untuk
menyelidiki kekonvergenan barisan
adalah uji rasio berikut.
Teorema 3.2.7.
Misakan
barisan
bilangan real positif sehingga
ada.
Jika
maka
konvergen dan
Bukti
Karena
positif maka
barisan tak negative sehingga
Jadi
misalkan r
suatu bilangan dimana
, ambil
Terdapat bilangan asli N sehingga
untuk setiap
Jadi untuk
setiap
berlaku
Dan karena
maka diperoleh
Dengan mengambil
kita mempunyai
Karena
maka
dan menggunakan Teorema 3.2.1. maka terbukti
¾
Contoh 3.11. Selidiki apakah
barisan
konvergen.
Penyelesaian. Kita gunakan uji rasio, yaitu
Jadi
dan disimpulkan barisan
konvergen dengan
.
Teorema 3.2.8. Jika
barisan
yang konvergen maka
(i).
Barisan nilai mutlak
konvergen dengan
(ii).
Jika
maka
barisan
konvergen dengan
Bukti
Misalkan
.
(i).
Kita
telah mempunyai sifat nilai mutlak bahwa
untuk semua
Jadi kekonvergenan
langsung diakibatkan oleh kekonvergenan
.
(ii).
Karena a > 0 maka
> 0. Selanjutnya dibentuk
(*)
Karena
maka
, sehingga dari (*) diperoleh
.
Karena
maka (
) → 0, dan dengan menggunakan
Teorema 3.2.1 maka terbukti lim
. ¾
LATIHAN 3.2.
1.
Misalkan
dan
suatu barisan. Jika
dan
konvergen, buktikan
juga konvergen.
2.
Buktikan
barisan
konvergen.
3.
Buktikan
lim
4.
Hitunglah
nilai limit berikut dan nyatakan secara eksplisit Teorema yang digunakan pada
setiap langkahnya.
a. lim
.
b. lim
.
5. Buktikan lim
6. Tunjukkan bahwa
barisan
tidak konvergen.
7.
Diberikan barisan bilangan real positif
dengan
. Tunjukkan bahwa
tidak terbatas dan tidak konvergen.
8.
Berilah sebuah contoh barisan konvergen
dengan
.
3.3. Barisan Monoton
Barisan bilangan real yang terbatas belum
tentu konvergen. Sebagai contoh, barisan bilangan real (-1)n
adalah barisan yang terbatas tetapi tidak
konvergen. Syarat cukup lain apa yang diperlukan sehingga
barisan yang terbatas merupakan barisan yang konvergen ? Pembahasan berikut
akan menjelaskannya.
Definisi 3.3.1. Diberikan barisan bilangan real X
≔ (xn).
(a)
Barisan X
dikatakan naik (increasing) jika
untuk setiap
.
(b)
Barisan X
dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika
untuk setiap
.
(c)
Barisan X
dikatakan turun (decreasing) jika
untuk setiap
.
(d)
Barisan X
dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika
untuk setiap
.
Suatu barisan (
) dikatakan monoton jika berlaku salah satu barisan (
) naik atau barisan (
) turun.
Contoh 3.12.
(a)
Barisan berikut ini naik (monoton).
(i)
.
(ii)
.
(iii)
jika
.
(b)
Barisan berikut ini turun (monoton).
(i)
.
(ii)
.
(iii)
jika
.
(c)
Barisan berikut ini tidak monoton.
(i)
.
(ii)
.
Teorema 3.3.1 (Teorema
Konvergensi Monoton)
(i).
Jika (xn)
naik (monoton) dan terbatas di
atas, maka (xn)
konvergen dengan
(ii). Jika (xn)
turun (monoton) dan terbatas di
bawah, maka (xn) konvergen dengan
Bukti
(i).
Karena (xn)
terbatas diatas, maka terdapat M
sedemikian hingga
M
untuk semua
. Misalkan A
, maka A
, terbatas di atas dan tidak kosong. Menurut Sifat Lengkap
, maka supremum A ada, misalkan
.
Akan ditunjukkan
Diberikan
sembarang, maka x - e bukan batas atas A. Karenanya terdapat
sedemikian hingga
. Karena (xn) naik,
maka untuk setiap
berlaku
atau
Jadi, terbukti
bahwa (xn) konvergen ke x atau
(ii). Gunakan cara
yang hampir sama dengan pembuktian (i).
Contoh 3.12. Selidiki apakah barisan (xn) yang didefiniskan oleh
Konvergen atau divergen.
Penyelesaian. Disini jelas bahwa (xn) naik sebab
untuk setiap
.
Selanjutnya dibuktikan apakah
barisan ini terbatas atau tidak.
Untuk melihat
pola barisan ini secara numerik dapat kita lihat tabel berikut:
Terlihat bahwa kenaikannya sangat
lambat sehingga erdasarkan data ini “seolah-olah” suku-suku barisan ini akan menuju bilangan
atau konvergen.
Selanjutnya, untuk tiap
kita mempunyai
Akibatnya,
untuk tiap
berlaku:
Jadi (xn) terbatas diatas. Menurut Teorema 3.3.1. (xn) Kovergen ( ke suatu L ≤ 2).
Contoh 3.12. Misalkan (xn)
barisan
yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
untuk n ≥ 1.
Selidikilah kekonvergenan barisan
ini. Bila ia knvergen berapakah limitnya.
Penyelesaian. Diperhatikan
dan
. Jadi
. Secara intuitif, barisan ini
monoton naik dan terbatas di atas oleh 2. Untuk menunjukkan klaim ini kita
gunakan prinsip induksi matematika, yaitu menunjukkan bahwa berlaku
.
Kita baru saja membuktikan
pernyataan ini berlaku untuk n = 1. Diasumsikan berlaku
untuk n = k, yaitu kita mempunyai
. Akibatnya,
. Untuk n = k + 1,
diperoleh
.
Jadi berlaku
, yaitu berlaku untuk n = k
+ 1.
Dengan demikian terbukti bahwa
barisan ini monoton naik dan terbatas. Berdasarkan Teorema 3.3.1 barisan ini konvergen. Selanjutnya dihitung
limitnya. Bila supremum himpunan {
} mudah dicari maka limitnya langung
didapat, yaitu lim (
) = sup {
}. Berdasarkan hasil perhitungan
numeris 10 suku pertama barisan ini adalah
Terlihat supremumnya adalah 2.
Secara teoritis masih harus dibuktikan bahwa 2 benar-benar supremumnya.
Dengan mengamati bahwa untuk limit ini
menghasilkan bentuk akar kontinu berikut,
lim (
) =
.
Misalkan x =
maka diperoleh
atau x = 2
Karena xn > 1 maka nilai yang
memnuhi adalah x = 2, jadi lim (
) = 2.
LATIHAN 3.3.
1.
Misalkan
dan
untuk
Buktikan bahwa
konvergen dan hitunglah limitnya.
2.
Misalkan
dan
untuk
Selidikilah kekonfergenan
Bila ia konvergen,
berapa limitnya.
3.
Selidikilah
kekonvergenan barisan
yang didefinisikan oleh
4.
Misalkan
. Buktikan
bahwa
naik dan terbatas (di atas)
untuk tiap
5.
Misalkan
Buktikan bahwa
naik. Apakah
terbatas (di atas)?
Langganan:
Postingan (Atom)